Se considera un plan orizontal pe care se afla doua corpuri de masa si . Initial, corpul de masa este stationar la distanta de un perete vertical. De partea opusa a corpului se apropie corpul de masa cu viteza . Se neglijeaza orice frecare, iar toate ciocnirile sunt perfect elastice. Dorim sa aflam distanta minima la care corpul de masa se apropie de perete si de cate ori se ciocnesc cele doua corpuri pana cand se atinge aceasta distanta minima.
Rezolvare
Vom folosi urmatoarele notatii: - viteza corpului dupa a -a ciocnire, - viteza corpului dupa a -a ciocnire, - distanta fata de perete unde se ciocnesc corpurile a -a oara si - intervalul de timp intre ciocnirea si ciocnirea .
Deoarece ciocnirile intre corpuri sunt perfect elastice, atat energia, cat si impulsul se conserva, astfel:
Grupam termenii cu aceeasi masa si factorizam corespunzator:
Facem raportul celor doua ecuatii si obtinem:
Aceasta este una dintre ecuatiile importante de care vom avea nevoie in problema. Acum vrem sa cautam o relatie care il contine si pe . Daca ciocnirea are loc la distanta de perete, iar ciocnirea are loc la distanta de perete, atunci in intervalul corpul parcurge distanta . Astfel,
De asemenea, in acest interval, corpul parcurge distanta . Deci,
Egalam cele doua ecuatii pentru si ajungem la ecuatia:
Din ecuatia avem ca: . Inlocuim in ecuatia precedenta si obtinem:
Aceasta ecuatie ne arata ca expresia nu se modifica dupa o ciocnire. Astfel, putem scrie ca .
Conservarea de impuls pentru prima ciocnire este:
Din ecuatia :
Il inlocuim pe in conservarea de impuls si se obtine:
Deci . Inlocuind in relatia de invarianta ajungem la:
Datorita aproximatiei putem presupune ca la fiecare ciocnire impulsul corpului se modifica foarte putin, aproape continuu. De aceea, in momentul in care corpul ajunge la distanta minima de perete putem presupune ca viteza sa este nula. Fie viteza corupului in acel moment. Conservarea de energie pentru intreg sistemul este:
Inlocuim in ecuatia si obtinem distanta minima: